No entanto, a raiz do conceito de função apareceu pela primeira vez com Oresme (1323 - 1382), que descreveu graficamente a dependência entre velocidade e tempo usando linhas verticais e horizontais.

Porém a noção de função surgiu de uma forma uma tanto confusa no “fluentes e fluxões” de Newton (1642 - 1727). O pensamento de Newton a respeito de funções aproxima-se bastante do sentido atual de função, pois se utiliza o termo “relatia quantias” para designar variável dependente, e “genita” para designar uma quantidade obtida a partir de outras por intermédio das quatro operações aritméticas fundamentais. Ao que parece, a primeira definição explícita de função foi dada por James Gregory em 1667. Mas, o primeiro pensador a usar o termo função foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) isto ocorreu em 1673 no manuscrito Latino “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus”. Ele usou o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais.Introduziu também os termos “constante”, “variável” e “parâmetro”. No entanto a partir do século XVIII, este conceito atraiu a atenção de muitos estudiosos que tentaram esclarecê-lo e generalizá-lo.
Entre estes:

Johann Bernoulli (1718)

Leonhard Euler (1748)

1. Uma quantidade constante é uma quantidade determinada, tomando o mesmo valor permanente.
2. Uma quantidade variável é uma quantidade indeterminada ou universal que compreende em si mesma todos os valores determinados.
3. Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de qualquer maneira a partir desta quantidade variável e de números ou de quantidades constantes.

E, em (1755) escreveu:

Se, entretanto, algumas quantidades dependem de outras de tal modo que, se estas são mudadas, aquelas mesmas sofrem modificações, então as primeiras quantidades são chamadas funções das últimas quantidades. Essa é uma noção muito abrangente e compreende em si mesma todos os modos pelos quais uma quantidade pode ser determinada por outras. Se por isso x denota uma quantidade variável, então todas as quantidades que dependem de x, de qualquer maneira que seja, ou que estejam determinadas por ela são chamadas funções.

Josep Louis Lagrange (1797)

Chama-se função de uma ou de várias quantidades, toda expressão de cálculo na qual essas quantidades entram de uma maneira qualquer misturadas ou não em outras quantidades que se consideram como tendo valores dados e invariáveis, enquanto que as quantidades da função podem receber todos os valores possíveis. Assim nas funções, só se consideram quantidades que se supõem variáveis, sem qualquer consideração às constantes que aí podem estar misturadas... Nós designaremos, em geral pela característica f ou F, colocada diante de uma variável, toda função desta variável, quer dizer, toda quantidade dependente desta variável e que varia com ela seguindo uma lei dada.

Jean Baptist Joseph Fourier (1822)

Em geral a função f(x) representa uma seqüência de valores, ou ordenadas, das quais, cada uma é arbitrária.A abcissa x podendo receber uma infinidade de valores, existe o mesmo número de ordenadas f(x).Todas têm valores numéricos verdadeiros e positivos, negativos ou nulos.  Não se supõe mesmo que essas variáveis estejam sujeitas a uma lei comum; elas se sucedem de uma maneira qualquer e cada uma delas é dada como seria uma quantidade única.

Augustin-Louis Cauchy (1823)

Chama-se quantidade variável a que se considera como devendo receber sucessivamente vários valores diferentes uns dos outros... Quando quantidades variáveis estão tão ligadas entre si que, estando dado um valor de uma delas, se possa concluir os valores de todas as outras, concebem-se ordinariamente essas diversas quantidades como expressas por meio de uma, dentre elas, que toma então o nome de variável independente; e as outras quantidades expressas por meio da variável independente são o que se chamam funções desta variável.

Peter Gustav Lejeune Drichelt (1837)

Suponhamos que a e b são dois valores definidos e x é uma quantidade variável que se deve assumir, gradualmente, todos os valores situados entre a e b. Agora, se a cada x corresponde um único y finito, de tal modo que à medida que x passa continuamente através do intervalo de a e b, y = f(x) varia da mesma maneira é chamada de função contínua de x para esse intervalo.Além disso, não é necessário, de jeito algum, que y dependa de x sobre este intervalo e segundo a mesma lei e, na verdade, não é necessário pensar só em relações que possam ser expressas por operações matemáticas. Geometricamente representada, isto é, com x e y imaginados em abscesso e ordenada, uma função contínua aparece como curva conexa para a qual só um ponto corresponde a cada abscissa entre a e b.

G.G.Stokes (1847)

Pelo termo função eu entendo… uma quantidade cujo valor depende, de qualquer maneira, do valor da variável, ou valores de várias variáveis, das quais ela é composta. Assim, as funções consideradas não precisam ser tais que admitam ser expressas por alguma combinação de símbolos algébricos, mesmo entre limites das variáveis, por próximos que sejam.

George F. B.Riemann (1851)

Suponhamos que z é uma quantidade variável que pode assumir gradualmente todos os valores reais possíveis; então, se, para cada um de seus valores, corresponde um único valor da quantidade indeterminada w, dizemos que w é uma função de z... Obviamente esta definição não estabelece nenhuma lei global entre os valores pontuais da função, de modo que se esta está definida para um certo intervalo, a maneira de sua continuação fora do intervalo é completamente arbitrária. Não faz diferença se definimos a dependência da quantidade w, em relação à quantidade z, como dada arbitrariamente ou como determinada por certas operações com quantidades.

George Boole (1854)

Qualquer expressão algébrica envolvendo o símbolo x é denominada função de x e pode ser representada sob forma abreviada f(x), substituímos x por um o resultado será expresso pela forma f(1); se, na mesma função substituirmos x por zero, o resultado será expresso por f(0).

H. Hankel (1870)

Uma função de x é chamada f(x) se, para cada valor de x dentro de um certo intervalo, está associado um único, determinado, valor de f(x). Além disso, não importa, de modo algum, a partir de onde e como f(x) é determinada, se por uma operação analítica com quantidades ou por outras maneiras. O valor de f(x) deve apenas estar determinado de maneira única, em toda à parte.

G. Frege (1879)

Se, uma expressão cujo conteúdo não precisa ser passível de investigação, um símbolo simples ou composto, ocorre uma ou mais vezes e se encararmos esse símbolo como substituível em todas, ou em algumas, dessas ocorrências por alguma outra coisa(mas pela mesma coisa em todas as ocorrências) então chamamos a parte que permanece invariante na expressão de função e a parte substituível de argumento da função.

R. Dedekind (1887)

Por uma aplicação de um sistema S, entende-se uma lei de acordo com a qual, para cada elemento determinado s de S, existe associado um objeto determinado que é chamado à imagem s e é denotado por F(s); dizemos também que F(s) corresponde ao elemento s, que F(s) é causado ou gerado pela aplicação F a partir de s, que s é transformado pela aplicação F em F(s).

J. Tannery (1887)

Consideremos um conjunto (X) de números distintos e olhemos esses números como valores que possam ser atribuídos a uma letra x, a qual será designada como sendo uma variável. Suponhamos que a cada valor de x, quer dizer a cada elemento do conjunto (X): a função será definida neste conjunto se a correspondência for definida. O conjunto (Y) dos valores distintos que toma y é determinado pela própria correspondência; dizer que b é um elemento de (Y) é dizer que há um elemento a, de (X) ao qual corresponde o número b. A cada elemento de (X) corresponde um elemento de (Y) e um só; mas nada impede, na definição precedente, que a vários elementos diferentes de (X) corresponda um mesmo elemento de (Y); em outros termos, a definição precedente não implica que a correspondência entre (X) e (Y) seja perfeita.

G. Hardy(1908)

A idéia de função.Suponha x e y são duas variáveis reais contínuas que podemos supor geometricamente representadas por distâncias A0P=x, B0Q=y, medidas a partir de pontos fixos A0 e B0 ao longo de duas linhas retas... E suponhamos que as posições dos pontos P e Q não são independentes, mas estão ligadas por uma relação que nós podemos imaginar expressa como uma relação entre x e y... Podemos por exemplo supor que y = x ou x2 + 1. Em todos esses casos, o valor de x determina o de y...Nessas circunstâncias, diz-se que y é função de x... Devemos notar que os exemplos simples de funções mencionados acima possuem três características que não estão de modo algum envolvidas na idéia geral de função, a saber: 1) y está determinado para cada valor de x; 2) para cada valor de x para o qual y é dado, corresponde um e só um valor de y; 3) a relação entre x e y expressa por meios de uma forma analítica, a partir da qual o valor de y correspondendo a algum valor de x pode ser calculado por substituição direta do último. É de fato verdade que essas características particulares são possuídas por muitas das funções mais importantes. Mas, elas não são, de modo algum, essenciais a uma função tudo que é essencial, é que deva existir alguma relação entre x e y, tal que para alguns valores de x, de qualquer espécie correspondam valores de y.

Giuseppe Peano (1911)

...A função é uma relação especial que a cada valor da variável faz corresponder um só valor, ou seja, função é qualquer relação u tal que, se dois pares y; x e z têm o mesmo segundo elemento, satisfazem à relação u, segue necessariamente que x = y, quaisquer que sejam x, y e z.

S. Carey (1917)

Em geral uma correspondência entre duas classes de números na qual, cada número da primeira classe corresponde um número da segunda classe, é chamada relação funcional. Novamente a variável que corresponde a números na primeira classe é chamada variável independente e a que corresponde àqueles, na segunda classe, é variável dependente. Dessa maneira, podemos dizer que existe uma relação funcional entre as variáveis independente e dependente. A palavra função é muitas vezes usada em casos em que nenhum processo matemático pode ser exibido para estabelecer uma correspondência entre duas classes de números dados por observação ou experimento.

E. Gourasat (1923)

A definição moderna da palavra função é devida a Cauchy e a Riemann. Diz – se que y é a função de x quando, a um valor de x, corresponde um valor de y. Indica-se esta dependência pela igualdade y = f(x). A maior parte das funções que estudaremos estão definidas analiticamente, quer dizer, por indicação das operações que se deverá efetuar para deduzir o valor de y do valor de x, mas, mais freqüentemente, essa circunstância não intervem nos raciocínios.

N. Bourbaki (1939)

Sejam E e F dois conjuntos distintos ou não. Uma relação entre uma variável x, de E, e uma variável y de F, é dita relação funcional em y ou relação funcional de E em F se, qualquer que seja x pertencente a E, existe um elemento y de F, e um só, que esteja na relação considerada com x. Dá-se o nome de função à operação que associa a todo elemento x pertencente a E, o elemento y pertencente a F que se encontra na relação dada  com x; iz-se que y é o valor da função para o elemento x e que a função é determinada pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.

Como conseqüência da evolução do estudo das funções surgem numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Pois os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era então, o modelo matemático que explicava a relação entre variáveis. Assim o conceito de função que hoje nos parece simples é resultado de uma evolução histórica conduzindo sempre cada vez mais à abstração.

Na atualidade as funções estudadas e usadas nas aplicações, retêm no fundamental a idéia de dependência entre variáveis. Dessa forma, o Cálculo que é à parte da matemática, que se ocupa do estudo das funções é chamado de “matemática da variação”, pois é  o ramo  da matemática interessado em  descrever  de forma precisa  qual variações em uma variável se relacionam com as variações em outra variável.

Pode-se perceber com facilidade que em todo o tipo de atividade humana, encontram – se dois tipos de variáveis: aquelas que podem ser controladas diretamente e aquelas que não se podem, porém  estas últimas respondem com regularidade de alguma forma às primeiras, como se pode comprovar pelos seguintes exemplos: a aceleração de um carro responde à forma pela qual controlamos o fluxo de gasolina para o motor, a taxa de inflação de uma economia responde à forma pela qual o governo controla a oferta de dinheiro e o nível de um antibiótico na corrente sanguínea de uma pessoa responde à dosagem e a escolha do momento oportuno de uma receita de um médico.

Sendo assim se pudermos entender quantitativamente como as variáveis as quais não podemos controlar diretamente respondem àquelas que  podemos, é possível esperarmos   por predições   sobre o ambiente em que vivemos para ganhar algum domínio sobre ele.