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INFORME MATEMÁTICO ------------------------------------------------------ Rio Grande do Sul, março de 2004 - Nº 06 ------------------------------------------------------ Nesta
edição: ● A Olimpíada da Grande
Porto Alegre ● Nos Jornais: “Eureca
nas entrelinhas Manuscrito milenar revela que Arquimedes fazia
análise combinatória há 2.200 anos” “Premiação 353
alunos premiados na I Olimpíada de Matemática” ● Curiosidade: “Investigação Risco
de divórcio previsível através de modelo psico-matemático” ● Exercícios e Desafios: Questões das primeiras fases da Olimpíada Brasileira de Matemática Para
receber o INFORME MATEMÁTICO, manda uma mensagem para [infmat@via.com.br].
Solicitamos apenas que comuniques a cidade na qual resides. Neste
endereço eletrônico, também coletaremos sugestões, críticas e colaborações.
Não deixes de participar. A Olimpíada da Grande Porto Alegre Singularmente, não há, no Rio Grande do Sul, uma olimpíada estadual de matemática. Ocorrem, é verdade, eventos regionais. Temos competições isoladas, como a realizada no Campus Universitário de Vacaria da Universidade de Caxias do Sul (CAMVA/UCS), e temos competições vinculadas à Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), como a disputada no Centro Universitário de Lajeado (Univates). Organizada pelo Instituto de Matemática da Universidade do Rio Grande do Sul (IM-UFRGS), a Olimpíada da Grande Porto Alegre pertence ao segundo grupo. Sua principal característica, no entanto, reside no grau de exigência das provas aplicadas. Sem dúvida, entre os concursos promovidos no estado, este é o mais desafiador. Eis uma amostra. Olimpíada Regional de Matemática – Grande Porto Alegre,
2003 I. Nível 1 (5ª e 6ª séries) Problema 2: Sejam a e b números primos que
satisfazem a < b e a + b = 91. a) Encontre um possível par a e b. b) Mostre que a solução encontrada é única. Problema 3:
Considere um hexágono regular ABCDEF, com os vértices nesta ordem, de área 1.
Marcamos o ponto O, intersecção das diagonais AD, BE e CF. Destacamos os
pontos G, H e I, pontos médios dos segmentos AO, OB e BA, respectivamente.
Seja J o ponto médio do segmento GH. Calcular a área do triângulo IJG. II. Nível 2 (7ª e 8ª séries) Problema 5:
Marcamos vinte pontos em uma circunferência, numerando-os de 1 a 20 (cada
ponto com um número distinto). Traçamos segmentos unindo pares de pontos, de
forma que cada ponto seja extremidade de exatamente um segmento. Para cada
segmento, calculamos o produto dos números que estão nos seus extremos. A
soma de todos esses produtos é S. Mostre como traçar os segmentos
na circunferência de modo que o valor de S seja o maior possível. III. Nível 3 (ensino médio) Problema 1: Mostre
que existe um inteiro não nulo múltiplo de sete (7) cuja representação
em base decimal só contém os algarismos zero (0) e um (1). Problema 5: Uma
empresa tem cinco (5) diretores e adotou como regra que seu cofre pode
ser aberto, e somente, por uma maioria (três, ou mais) de diretores. Esse
cofre tem dez (10) fechaduras, cada uma com uma chave diferente, e só
abre quando todas as fechaduras tiverem sido abertas. Diariamente, é sorteado um
número N do conjunto {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e cada um dos diretores recebe
N chaves diferentes. Qual a probabilidade de que o sorteio do número N
impossibilite a abertura do cofre? Não privaremos, tu deves ter conjecturado, nossos leitores do prazer de encontrar soluções para estes problemas. Portanto, mãos à obra! Na esperança de saciar os gulosos, indicamos ainda as provas de 1998 no endereço [http://www.obm.org.br/provas/rs98.doc]. Ademais, como mostra de reconhecimento a todos os concorrentes de nossas competições regionais, apresentamos os ganhadores de medalhas (1) da edição de 2003 da Olimpíada da Grande Porto Alegre. I. Nível 1 Medalha de Ouro: Felipe Lima (Colégio Militar - Porto Alegre). Medalhas de Prata: Amanda dos Santos (Colégio Militar - Porto Alegre), Antônio Görgen (Colégio Leonardo da Vinci - Porto Alegre)
e João Pedro Weit (Escola Professor Júlio Grau - Porto
Alegre). Medalhas de Bronze: Ricardo Kich (Colégio Pastor Dohms - Porto Alegre), Tarso Martins (Colégio Militar - Porto Alegre), Douglas Aquino (Colégio Militar - Porto Alegre), Willian Nunes (Unidade Cristo Redentor - Canoas), Luiza Olmedo (Colégio Leonardo da Vinci - Porto Alegre), Laerte Fraga (Colégio Pastor Dohms - Porto Alegre) e Patrick Türck (Colégio Pastor Dohms - Porto Alegre). II. Nível 2 Medalhas de Ouro: Leonardo Desessards Olijnyk (Colégio Pastor Dohms - Porto
Alegre) e Jarbas Alfeu de Paula Júnior (Colégio Militar - Porto
Alegre). Medalhas de Prata: Cassiana Chassot Fülber (Colégio Leonardo da Vinci - Porto
Alegre), Cássio A. Xavier (Colégio Sinodal - São Leopoldo) e Jéssica Becker Moraes (Colégio Militar - Porto Alegre). Medalhas de Bronze: Victor de Fraga Sant’ana (Colégio Pastor Dohms - Porto
Alegre), César Machado Viega (Colégio Militar - Porto Alegre), Kevin Herman Muraro Gularte (Colégio Militar - Porto
Alegre), Evandro Carsodo Vargas (Colégio Militar - Porto Alegre), Tássio Fernando Crússios (Colégio Sinodal - São Leopoldo)
e Patrícia Apólito Silveira (Colégio Sinodal - São
Leopoldo). III. Nível 3 Medalha de Ouro: Platão Gonçalves Terra Neto (Fundação Liberato - Novo
Hamburgo). Medalha de Prata: Felipe Vasconcelos Torres (Colégio Militar - Porto
Alegre). Medalhas de Bronze: Rodolfo Souza Barbosa (Colégio Sinodal - São Leopoldo), Benito Perito Gantes (Colégio Militar - Porto Alegre), Álvaro Kruger Ramos (Escola Professor Alcides Cunha -
Porto Alegre), Nathanael Milani Bellini Cabrer (Colégio Leonardo da Vinci
- Porto Alegre) e Patrícia Kruse Klaser (Colégio Pastor Dohms - Porto
Alegre). (1) Ao todo, foram também atribuídas 19 menções honrosas. Eureca nas entrelinhas Manuscrito
milenar revela que Arquimedes fazia análise
combinatória há 2.200 anos Imagem realçada por computador mostra vestígios do tratado 'Stomachion', de Arquimedes, em original de cerca de mil anos sobrescrito várias vezes.
Dois mil e duzentos anos atrás, o grande matemático grego Arquimedes escreveu um tratado chamado 'Stomachion'. Diferentemente de seus outros escritos, logo caiu na obscuridade. Pouco dele sobreviveu, e ninguém sabia o que pensar dele, mas agora um historiador da matemática em Stanford, EUA, examinando antigos pergaminhos sobrescritos por monges e quase destruídos pelo mofo, parece ter resolvido o mistério sobre o assunto do tratado. No processo, ele abriu uma surpreendente nova janela sobre o trabalho do gênio que é mais lembrado (talvez apocrifamente) por seu grito de 'Eureca!' ao descobrir um modo inteligente de determinar se uma coroa real era mesmo de ouro puro. O 'Stomachion', conclui o historiador Reviel Netz, estava bem à frente de seu tempo: um tratado sobre análise combinatória, campo que não voltou a emergir até o surgimento das ciências da computação. A meta da análise combinatória é determinar de quantos modos um dado problema pode ser resolvido. E encontrar o número de modos pelos quais o problema no 'Stomachion' pode ser resolvido é tão difícil que, quando Netz pediu a uma equipe de quatro especialistas para fazê-lo, tomou seis semanas. Embora Netz reconheça que suas descobertas não podem ser provadas com certeza absoluta, ele apresentou o trabalho a outros especialistas, e eles disseram concordar com sua interpretação. Numa recente e nevada manhã de domingo na Universidade de Princeton, três dúzias de acadêmicos se reuniram para ouvir Netz e em seguida o parabenizaram, dizendo que seus argumentos faziam sentido. 'Estou convencido', disse Stephen Menn, um historiador de matemática antiga na Universidade McGill, numa entrevista após a sessão de duas horas. Entre todos os
trabalhos de Arquimedes, o 'Stomachion' foi o que menos atenção atraiu,
ignorado ou dispensado como sem importância ou ininteligível. Apenas um pequeno
fragmento da introdução sobreviveu e, até onde se podia dizer, parecia ser
sobre um quebra-cabeça infantil antigo – também conhecido como 'Stomachion' –
que envolvia colocar faixas de papel juntas de diversas maneiras para compor
diferentes formas. Não fazia sentido que um homem da estatura de Arquimedes se ocupasse com tal jogo. Como resultado, afirma Netz, 'as pessoas diziam, não sabemos do que ele trata'. Na realidade, de acordo com Netz, a sabedoria predominante estava baseada numa interpretação errônea. Arquimedes não estava tentando juntar peças de papel em formas diferentes; ele estava tentando ver de quantos modos as 14 faixas irregulares poderiam ser reunidas para formar um quadrado. A resposta – 17.152 – exigia uma contagem cuidadosa e sistemática de todas as possibilidades. 'Foi difícil', disse Persi Diaconis, um estatístico de Stanford que trabalhou nele com a colega Susan Holmes, que também é sua mulher, e um segundo casal de matemáticos combinatórios, Ronald Graham e Fan Chung, da Universidade da Califórnia em San Diego. De maneira independente, um cientista da computação, William H. Cutler, da companhia Chicago Rawide, em Elgin, Illinois, escreveu um programa que confirmou a correção da resposta obtida pelos matemáticos. Talvez tão marcante quanto a descoberta de que Arquimedes conhecia análise combinatória seja a história de um manuscrito que data de 975, escrito em grego num pergaminho. É um dos três conjuntos de cópias dos trabalhos de Arquimedes que estiveram disponíveis durante a Idade Média (os outros foram perdidos, e nenhum deles continha o 'Stomachion'). 'Para Arquimedes, como para todos os outros da Antiguidade, não temos os trabalhos originais', diz Netz. 'O que temos são cópias das cópias das cópias.' Os cientistas avaliam as cópias comparando os textos que elas têm em comum e procurando por passagens exclusivas, que podem atrair algum interesse em particular. Por esses parâmetros, o manuscrito era valioso. Mas foi quase perdido. No século 13, explica Netz, monges cristãos, precisando de material para compor um livro de orações, despedaçaram o manuscrito, apagaram seu conteúdo, dobraram suas páginas ao meio e as cobriram com texto religioso. Após séculos de uso, o livro de orações – conhecido como palimpsesto, porque contém texto que foi sobrescrito – terminou em um monastério em Constantinopla. Santo Sepulcro Johan Ludvig Heiberg, um estudioso dinamarquês, o encontrou em 1906 na biblioteca da Igreja do Santo Sepulcro, em Istambul. Ele notou traços suaves de matemática sob as orações. Usando uma lente de aumento, transcreveu o que podia e fotografou cerca de dois terços das páginas. Aí o documento desapareceu, perdido com outros preciosos manuscritos no conflito entre gregos e turcos. Ele reapareceu nos anos 1970, nas mãos de uma família francesa que o comprara em Istambul, no início da década de 1920, e o guardara por cinco décadas antes de tentar vendê-lo. A família teve problemas para encontrar um comprador, no entanto, em parte porque havia alguma dúvida sobre se havia adquirido legalmente o manuscrito, para começar, mas também porque ele parecia horrível. Foi consumido pelo mofo, nos anos em que a família o reteve, e estava áspero e feio. Em 1998, um bilionário anônimo o adquiriu por US$ 2 milhões e o cedeu ao Museu de Arte Walters, em Baltimore, onde ele ainda está. 'É preciso enfatizar quanto a situação é incrivelmente incomum', diz Netz. Com o manuscrito em mãos, o pequeno grupo de estudiosos passou a reconstruir o texto original em grego. Não foi fácil. 'Você olha a olho nu e não vê nada, absolutamente nada', conta Netz. Luz ultravioleta revelou leves traços de escrita, mas incluía tanto as orações quanto a matemática. 'O maior problema é a combinação do fato de que muitos caracteres estão escondidos com o fato de que muitos são tão suaves que ficam invisíveis', afirma Netz. E, ainda por cima, há as lacunas das páginas que foram arrancadas ou consumidas pelo mofo.
Imagens por computador ajudaram. Roger Easton, do Instituto de Tecnologia de Rochester, Keith Knows, da Boeing, e William Christens-Barry, da Universidade Johns Hopkins, conseguiram desenvolver programas para separar a escrita do 'ruído' em torno dela, e em muitos lugares as letras gregas saltaram da tela do computador. 'O produto do software é incrível', disse Netz. Mas também tinha limitações, especialmente perto das pontas rasgadas das páginas. Para reconstruir os textos, Netz e Nigel Wilson, um professor de estudos clássicos na Universidade de Oxford, estão usando cada ferramenta disponível: luz ultravioleta, imagens de computador, as fotografias de Heiberg e seu próprio conhecimento íntimo de textos gregos antigos. Ainda assim, em algumas áreas, 'o texto provavelmente permanecerá uma conjectura', segundo Netz. Foi a sorte que o levou a seu primeiro lampejo acerca da natureza do 'Stomachion'. Em agosto, quando estava prestes a começar a transcrever uma das páginas do manuscrito, ele conta que recebeu um presente pelo correio, um modelo recortado em vidro azul de um quebra-cabeça 'Stomachion'. Ele havia sido feito por um negociante aposentado da Califórnia que localizou Netz pela internet como um estudioso renomado de Arquimedes. Olhando para o modelo, Netz percebeu que um diagrama na página que estava transcrevendo era na verdade um rearranjo das peças do quebra-cabeça 'Stomachion'. De repente, ele viu aonde Arquimedes queria chegar. O diagrama envolvia 14 peças, e a palavra 'profusão' parecia associada a ele. Heiberg e os que o seguiram pensavam que isso significava que seria possível montar muitas figuras com o rearranjo das peças. 'Isso é parte da razão pela qual as pessoas não entendiam sobre o que versava aquilo', diz Netz. Mas a velha interpretação parecia trivial, dificilmente digna do tempo de Arquimedes. Conforme ele foi examinando as páginas do manuscrito e montando o texto, percebeu que o que Arquimedes estava realmente perguntando parecia ser: 'De quantos modos você pode juntar as peças para formar um quadrado?' Essa questão, para Netz, 'tem significado matemático'. 'As pessoas presumiram que não havia combinatória na Antiguidade', continua. 'Não provocou portanto desconfiança alguma que Arquimedes tenha dito que existiam muitos arranjos e que ele iria calculá-los. Mas foi isso que Arquimedes fez; suas introduções vão sempre ao ponto.' Arquimedes teria resolvido o problema? 'Estou certo de que ele resolveu, ou não o teria apresentado', afirma Netz. 'Eu não sei é se ele resolveu corretamente.' Com relação ao nome, derivado da palavra grega para estômago, os matemáticos estão incertos. Mas Diaconis tem um palpite. 'Vem de virar o estômago', disse. 'Se você se envolve com ele, é o que acontece.' (Publicado no caderno Mais! do jornal Folha de
São Paulo do dia 21 de dezembro) Assim como os leitores mais
atentos, a equipe do INFORME MATEMÁTICO identificou algumas imperfeições em Eureca
nas entrelinhas, sendo uma particularmente grave. O professor Carnielli
detalha a seguir estes equívocos (de um modo talvez desnecessariamente ríspido).
Arquimedes e a combinatória
Walter A. Carnielli O artigo 'Eureca nas entrelinhas' (Mais!, 21/12/2003), traduzido de 'In Archimedes Puzzle, a New Eureka Moment', do jornal 'The New York Times' de 14/12/2003, reproduz candidamente várias opiniões desinformadas e superficiais da jornalista científica norte-americana Gina Kolata. Soa quase ridículo afirmar que 'a meta da análise combinatória é determinar de quantos modos um dado problema pode ser resolvido', como se os matemáticos nada mais tivessem a fazer do que, insatisfeitos com uma solução, buscar todas as outras. A análise combinatória é muito mais do que isso: sua meta é investigar as propriedades assintóticas de configurações com estruturas, como grafos, geometrias finitas, grupos de palavras etc. A questão da contagem é apenas um aspecto importante – no caso do quebra-cabeça chamado 'Stomachion', o problema é exatamente determinar de quantas maneiras as 14 figuras geométricas podem ser combinadas (recortadas em tiras de papel, e não em 'faixas de papel', como a tradução desinforma e faz perder todo o sentido do problema) para formar um quadrado. A resposta tanto pode ser 17.152 (como o artigo diz) como 268 (que o artigo não diz), levando-se em conta ou não as soluções simétricas, dividindo-se nesse caso por 64 o espaço de soluções. Definir, estudar e calcular com essas simetrias é muito mais a meta da análise combinatória do que computar quantidades. A leviandade maior do artigo, contudo, é afirmar que 'a análise combinatória (...) não voltou a emergir até o surgimento das ciências da computação'. São conhecidíssimos os trabalhos de Leonhard Euler (1707-1783) sobre a enumeração combinatória e, antes dele, como sabem estudantes de matemática, de filosofia, de lógica e de computação, os de Gottfried Wilhelm Leibniz em sua 'Dissertatio de arte combinatória', de 1666. O próprio Leibniz explicitamente reconhecia em sua arte combinatória uma elaboração dos conceitos do filósofo catalão Ramón Llull (1232-1316). Dessa forma, a não ser que a autora decida situar o 'surgimento das ciências da computação' no século 13, temos mais um exemplo de que o que não é muito bom para os norte-americanos não deve ser melhor para os brasileiros. Pode até ser bom para jornais que conseguem preencher espaço sem se dar ao trabalho de pedir a opinião dos cientistas nacionais, mas certamente não é bom para os leitores brasileiros. Walter
A. Carnielli
é professor titular de lógica e fundamentos da matemática do Centro de
Lógica, Epistemologia e História da Ciência da Unicamp. (Publicado no jornal Folha de São Paulo do dia 4 de fevereiro) Premiação 353
alunos premiados na I Olimpíada de Matemática “Alfabetizar é importante, mas mais que isso é preciso ler bem e saber matemática. Com o domínio dessas duas linguagens, o aluno garante outros conhecimentos.” Com essa afirmação, o secretário estadual de Ciência e Tecnologia, Hélio Barros, deu início a solenidade de premiação dos 353 melhores alunos da I Olimpíada de Matemática das Escolas Públicas do Ceará, ontem, no Centro de Convenções. Uma dos 30 alunos que receberam medalha de ouro, Talita Késsia de Sena, 12 anos, aluna da 5ª série da Escola Municipal Professor Luís Costa, não acreditava que ganharia a competição. “Essa iniciativa do governo foi ótima para incentivar as crianças. Ao contrário da Talita, eu sabia que ela ia ganhar, minha filha sempre foi muito estudiosa”, diz a mãe da estudante, a dona-de-casa Maria Marlete de Sena. A olimpíada de matemática faz parte do programa Linguagem das Letras e dos Números, que visa, de acordo com Hélio Barros, expandir a qualidade da educação em todo o Estado por meio de estudos dirigidos para o domínio da matemática e do português, numa parceria entre as secretarias estaduais de Ciência e Tecnologia e da Educação. O presidente do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), Erney Camargo, destacou a importância da realização do projeto. “A idéia é espetacular. O CNPq se preocupa com a melhoria da pesquisa no país. Esses alunos são a base para os futuros pesquisadores. A realização de olimpíadas é uma excelente maneira de atrair e seduzir os jovens. É aí que eles pegam gosto”, frisa. Além de medalhas, troféus e menções honrosas, os estudantes vão receber bolsas de estudo, por dois anos, no valor de R$ 72,00 mensais, disponibilizadas pelo CNPq. Para o diretor da Escola Municipal Professor Luís Costa, Anderson Maia, a olimpíada é uma maneira de desmitificar o ensino da matemática. (Publicado no jornal Diário do Nordeste do dia 14 de
fevereiro) Investigação Risco de
divórcio previsível através de
modelo psico-matemático Seattle, Washington – Dois professores norte-americanos aliaram psicologia e matemática para conceber um modelo que permite prever com grande fiabilidade o risco de divórcio de um casal. A técnica, testada em mais de 600 casais nos últimos 20 anos, "permite prever em 94 por cento dos casos se o casal se irá divorciar nos cinco anos seguintes" ou durar – afirmou o psicólogo John Gottman ao apresentar quinta-feira o seu trabalho no congresso anual da American Association for the Advancement of Science (AAAS). Gottman e o colega, o matemático James Murray, ambos da Universidade de Washington, utilizaram como matéria prima registos em vídeo de 15 minutos de centenas de discussões entre casais.
Os cientistas atribuíram um ponto por interacção positiva no casal e retiraram um ponto por interacção negativa. Além disso, analisaram e integraram no modelo as expressões faciais e as pulsações cardíacas das duas pessoas. O resultado foi quantificado sob a forma de uma fórmula entre interacções positivas e negativas. "A fórmula mágica é cinco (positivos) contra um (negativo)", explicaram os investigadores, para os quais todos os casais com proporção inferior a cinco contra um estarão ameaçados.
Quando as pessoas mais adaptadas no seu casamento "falam de coisas importantes, elas podem discordar mas também troçar uma da outra e gracejar, o que são sinais de afecto e da existência de relações emocionais", afirmou Gottman. "No entanto, muitas pessoas não conseguem estabelecer essa ligação ou criar um certo sentido de humor. Por isso as discussões significam que essa ligação emocional não se estabeleceu", acrescentou. O investigador destacou ainda a importância das expressões do rosto, como a expressão de desprezo, que considerou "o verdadeiro ácido sulfúrico do amor". O ritmo cardíaco dos intervenientes numa discussão conjugal é igualmente importante. "Acima de 100 pulsações por minuto, o organismo começa a produzir adrenalina, o que torna uma pessoa menos receptiva" aos argumentos da outra, explicou.
O primeiro é aquele em que ambos evitam situações de conflito. Quando surge uma diferença de opiniões, afirmou, "nunca discutem. Ouvem-se um ao outro mas nunca tentam impor pontos de vista." Esses casamentos podem ser frios e distantes, mas duram. Outro tipo é o de uma relação volátil, "como dois advogados num tribunal. Discutem por tudo e por nada mas o seu casamento tende a durar." O terceiro é o dos que se ouvem e respeitam um do outro e só raramente discutem. "A matemática permite cartografar visualmente o que se passa numa relação e dá instrumentos de intervenção que podem ser utilizados em terapia matrimonial", afirmou por seu lado Kristin Swanson, professora da Universidade de Washington, que participou no debate. Fonte: Agência Angola Press (13-02-2004) Questões
das primeiras fases da
Olimpíada Brasileira de Matemática Até 30 de abril, estão abertas as inscrições para a XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). Pode – e, na nossa opinião, deve – participar qualquer estudante da escola fundamental (a partir da 5ª série) e dos ensinos médio e superior. A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), entidade promotora da OBM, parece odiar burocracia. Além de ambiente estimulante para busca de respostas próprias, as exigências para disputar a competição limitam-se à necessidade de a instituição de ensino, ao se inscrever, indicar professor para aplicar os exames. Aos descrentes e aos interessados, avisamos que informações detalhadas encontram-se no site oficial do evento [http://www.obm.org.br]. Para encorajar a entrar em contato com a OBM o maior número
possível de piás, guris e gurias de nossas querências, a equipe do INFORME
MATEMÁTICO selecionou algumas questões das primeiras fases. Todas as provas
aqui citadas (e várias outras) podem ser obtidas em
[http://www.obm.org.br/provas.htm]. I. Nível 1 (5ª e 6ª séries) 1. (1998) Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. O número dos diferentes resultados dessa adição é:
A)12 B) 18 C) 216 D) 16 E) 15 2. (1999) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? A) 132 B) 144 C) 146 D) 148 E) 152
3. (1999) Renata digitou um trabalho de 100 páginas numeradas de 1 a 100 e o imprimiu. Ao folhear o trabalho, percebeu que sua impressora estava com defeito, pois trocava o zero pelo um e o um pelo zero na numeração das páginas. Depois de consertar a impressora, quantas páginas teve que reimprimir, no mínimo?
A) 18 B) 20 C) 22 D) 30 E) 28
4. (2000) Observe as multiplicações a seguir: 12 345 679 x 18 = 222 222 222 12 345 679 x 27 = 333 333 333 12 345 679 x 54 = 666 666 666 Para obter 999 999 999 devemos multiplicar 12 345 679 por:
A) 29 B) 99 C) 72 D) 41 E) 81
5. (2001) Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) mais de 4
6. (2001) Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos?
A) 4 B) 0 C) 7 D) 5 E) Faltam dados
7. (2002) Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa 80 reais, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro da gasolina custa, em média, R$ 1,60 e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar 48 reais de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas, chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas, Patrícia irá:
A) economizar R$ 20,00 B) gastar apenas R$ 2,00 a mais C) economizar R$ 24,00 D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus E) gastar R$ 14,00 a mais II. Nível 2 (7ª e 8ª séries) 1. (1998) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações: – André: Eduardo é o culpado. – Eduardo: João é o culpado. – Rafael: Eu não sou culpado. – João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado. Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado?
A) André B) Eduardo C) Rafael D) João E) Não se pode saber
2. (1999) Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2 e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nesta classe o número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nesta classe é igual a:
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
3. (2000) Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado, de modo que cada caixa contém 8 latas. Para poderem ser melhor transportadas, essas caixas são colocadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é:
A) 576 B) 4.608 C) 2.304 D) 720 E) 144
4. (2001) Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma.)
A) 15 litros B) 45 litros C) 75 litros D) 80 litros E) 30 litros
5. (2002) Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma. Primeiro, ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa". Logo após, tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: "prove-me e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:
A) ficou 1% mais baixa B) ficou 1% mais alta C) ficou 5% mais baixa D) ficou 5% mais
alta E) ficou 10% mais alta III. Nível 3 (ensino médio) 1. (1998) A respeito da resposta de um problema, Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos fizeram as seguintes afirmações: – Maurício: É maior que 5. – Paulo: É menor que 10. – Eduardo: É um número primo. – Carlos: É maior que 12. Entre as afirmações acima, quantas, no máximo, podem ser verdadeiras?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2. (2000) A soma de dois números naturais é 29. O mínimo valor para a soma de seus quadrados é:
A) 785 B) 733 C) 647 D) 421 E) 334
3. (2002) Duas pessoas vão disputar uma partida de par ou ímpar. Elas não gostam do zero e, assim, cada uma coloca 1, 2, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. A probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe é:
A) 1/2 B) 2/5 C) 3/5 D) 12/25 E) 13/25 Respostas e Comentários*: I. Nível 1
1. [D] 2.
[B] 1 saco de areia = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos
então pode carregar 18 x 8 = 144 tijolos. 3.
[E] Números com algarismo um: 1, 10, 11, ..., 19, 21, 31, ..., 91, 100 (total
= 20); números com algarismo zero: 10, 20, ..., 100 (total = 10); números
contados duas vezes: 10, 100 (total = 2). Número de páginas com numeração
defeituosa: 28. 4. [E] 5.
[B] Como os números devem ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser
múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Só podem ser 7 x 7 =
49, 7 x 11 = 77 e 7 x 13 = 91. 6.
[D] A cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos (0, 1, 2,
..., 9) como último algarismo. Como sua soma é 45, que termina em 5, e como 7
x 5 = 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos
consecutivos sempre termina em 5. 7. [C] II. Nível 2
1. [C] 2.
[E] O número de alunos é pelo menos 15 e não mais que 29. Os únicos números
neste intervalo que deixam resto igual a 2 quando divididos por 4 são 18, 22
e 26. Destes, o único que deixa resto igual a 1 quando dividido por 5 é 26 e
o número de meninos é 26 - 15 = 11. 3. [A] 4.
[C] Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria sólida. As pêras devem
ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100% - 60% = 40% da massa total, ou seja, até que
a massa total seja igual a 10/40% = 10/0,4 = 25 kg. Logo 90 – (25 – 10) = 75
litros de água serão evaporados. 5. [A] III. Nível 3
1. [D] 2.
[D] 3. [E] *Gabarito e resumo das soluções fornecidos pelos
organizadores das provas. Até breve! Coordenação: Priscila
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