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  TÓPICOS AVANÇADOS DE MATEMÁTICA - PPGECE
  

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  • Introdução
  • Ementa
  • Objetivos
  • Bibliografia Básica
  • Materiais Disponíveis
  • Distribuição dos Conteúdos Programáticos por Aula
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      INTRODUÇÃO  
      Modelo_Terreno  
    O mundo em que vivemos hoje, embora não nos apercebamos, depende fundamentalmente da Matemática.

    As ondas eletromagnéticas para a TV e a informação telefônica via satélite tiveram sua existência primeiramente descoberta na Matemática, depois na Física.

    Os aspectos teóricos da computação foram desenvolvidos por matemáticos como J. von Neumann e A. Turing.

    O desenvolvimento de um motor, de um circuito elétrico ou de um chip de computador necessita de uma enorme quantidade de cálculos matemáticos e de Teorias Matemáticas, assim como a maioria dos aparelhos elétricos.

    A era industrial só foi possível devido ao desenvolvimento da Física e da Matemática por Newton, Lagrange, Fourier,  Cauchy, Gauss e outros cientistas.

    Os conjuntos fractais surgem nos trabalhos dos matemáticos Hausdorff e  Besikovich, e depois foram popularizados por B. Mandelbrot. As figuras que aparecem na Enciclopédia Encarta da Microsoft são feitas por compactificaçãode imagens obtidas por adaptação de idéias matemáticas de auto-similaridade de fractais do matemático M. Barnsley.

    A explicação física do fenômeno da água se tornar gelo a zero graus e da magnetização de objetos a baixas temperaturas, exige aplicaçãoda Teoria Matemática da Probabilidade. Esta Teoria, no início, dedicava-se apenas a calcular chances de ganhar ou perder nos jogos de roleta. Isto antes de penetrar na Mecânica Estatística e Quântica como ferramenta insubstituível. Convém lembrar que o matemático W. Gibbs foi um dos cientistas que estabeleceu os princípios da Mecânica Estatística.

    O entendimento da Teoria da Relatividade de Einstein e dos "buracos negros" de S.Hawking deve muito ao  desenvolvimento das Geometrias Não Euclidianas (Axioma das Paralelas de Euclides - século IV a.C.) por Gauss, Riemmann e Poincaré. A questão, se era ou não possível deduzir o Axioma das Paralelas a partir de outros, se estendeu por mais de 20 séculos até ser negado por Lobachewski no século XIX. Surgem as Geometrias Riemmanniana e Hiperbólica.O fenômeno de que a luz tinha velocidade constante independente do referencial do observador que a media, apontava para a direção de que o espaço-tempo deveria ter alguma curvatura. Einstein, que aprendeu a Geometria Riemmanniana, encontrou um modelo matemático para o fenômenos em questão, através de um Geometria Não Euclidiana conveniente.

    Várias Teorias Matemáticas resultaram, posteriormente, em ferramentas para o entendimento de modelos das Ciências Naturais com os quais a princípio não pareciam ter nenhum relacionamento.

    Os números complexos, introduzidos para dar sentido à existência de soluções de equações polinomiais, conduziram ao estudo do cálculo diferencial com números complexos.Esta Teoria resultou ser, posteriormente, extremamente útil para explicar o escoamento de fluidos incompreensíveis. A teoria de S. Hawking para explicar os "buracos negros" necessita de resultados envolvendo números complexos e Mecânica Quântica (logo, requer resultados da Teoria da Probabilidade). A formalização da Mecânica Quântica só foi possível via a fundamentação dada pelo matemático J. von Neumann, utilizando a teoria de espaços de funções desenvolvidas em grande parte pelo matemático D. Hilbert, que jamais imaginaria que sua teoria matemática do começo do século XX iria se aplicar a tal assunto.

    A Teoria matemática das wavelets, desenvolvida principalmente por volta de 1970, permitiu consideráveis avanços em tomografia computadorizada.

    Os livros-textos de Biologia, Economia, Agronomia, etc, usados nas Universidades hoje em dia, contêm muito mais fórmulas matemáticas e estatísticas que os usados 20 anos atrás.

    A tendência de todas as Ciências é cada vez mais se "matematizarem" em função do desenvolvimento de Modelos Matemáticos que descrevem fenômenos (determinísticos ou aleatórios) naturais de maneira adequada.

    O ritmo intenso do desenvolvimento tecnológico dos tempos atuais produz o seguinte fenômeno: é cada vez menor o tempo decorrente entre o desenvolvimento de uma teoria matemática e sua utilização prática.

    Nas Ciências Sociais, a Estatística é, hoje em dia, ferramenta extremamente útil para qualquer profissional da área. Até para investir na bolsa de valores existem teorias matemáticas e probabilísticas que possibilitam maximizar o lucro auferido.

    Em resumo, podemos afirmar que o domínio do uso da Matemática, hoje em dia, é uma condição necessária para o sucesso em uma quantidade enorme de profissões. As projeções para o futuro próximo indicam que esta tendência deve se intensificar. Para os Estados Unidos projeta-se que já neste começo do século XXI os  white-collars (trabalhadores que precisam de algum estudo de nível superior) serão em maior número do que os blue-collars (trabalhadores braçais). A automação e o computador produzirão também a ocorrência do mesmo fenômeno no resto do mundo em um futuro razoavelmente próximo.

    Na maioria dos programas de nível superior nos Estados Unidos, o estudante deve fazer algum curso de Matemática. Numa sociedade moderna em que a "eficiência" é um dos objetivos maiores, maximizar benefícios e minimizar perdas é essencial.  Nestes casos, invariavelmente, algum modelo matemático deve entrar em jogo.

    Em 1936, o cientista inglês Alan Turing propôs um modelo matemático cujo poder computacional se equivale ao computador mais moderno de que se tenha conhecimento. Com a Máquina de Turing, nascia a Ciência da Computação. Na década de 40, o matemático húngaro John von Neumann desenvolveu a Arquitetura de von Neumann, um modelo que define um computador dividido em dois módulos - Memória e Unidade Central de Processamento (UCP). Todos os computadores que conhecemos são baseados no modelo de von Neumann. A revolução digital subdividiu a Computação em diversas áreas, todas elas fundamentadas por conceitos científicos já conhecidos. O ramo da comunicação de dados, em plena expansão, se baseia em princípios de manipulação de sinais analógicos e digitais. A Álgebra Linear tornou possível a Computação Gráfica. Do mesmo modo, diversas áreas da Computação evoluem a partir de fundamentos físicos e matemáticos há muito tempo desenvolvidos. Atualmente, computadores pessoais ou de grande porte são apenas ferramentas que utilizamos para colocar em prática os conceitos estudados.

    A Matemática Aplicada e a Computação Científica tornaram-se, nos últimos anos, ferramentas importantes no desenvolvimento das mais variadas áreas da atividade científica. Da modelagem biológica à simulação dos mais complexos tipos de escoamentos, da simulação do mercado financeiro e de seguros à previsão do tempo, são exemplos de áreas, entre muitas outras, nas quais tanto a modelagem matemática quanto a conseqüente simulação computacional têm desempenhado papel fundamental para o seu recente desenvolvimento.

    A combinação de métodos numéricos com métodos matemáticos é uma fonte de desafios e descobertas. O aperfeiçoamento dos pacotes tem nos permitido realizar cálculos rápidos, testar com facilidade a influência dos parâmetros presentes nos modelos, testar simplificações, diferentes discretizações, etc.

    Os métodos numéricos são métodos de convergência que apresentam uma seqüência de cálculos simples, porém repetitivos. Devido a estas características, são normalmente oferecidos como softwares para execução no computador. Estes métodos simulam uma realidade e apresentam vantagens inquestionáveis, a saber: possibilidade de executar várias versões de possíveis soluções a fim de se otimizar a resposta, rapidez na resposta, menor custo em relação aos métodos experimentais e razoável facilidade de execução.

    Talvez a aplicação mais importante do Cálculo Diferencial e Integral seja as equações diferenciais. Muitas leis da Física, da Química, da Biologia, da Engenharia e da Economia são descritas em termos de equações diferenciais, ou seja, equações envolvendo funções e suas derivadas. As equações diferenciais são importantes em Engenharia e Ciências porque as utilizamos para descrever como os sistemas mudam. Quando físicos ou cientistas usam o Cálculo, em geral o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estão estudando. Embora seja freqüentemente impossível encontrar uma fórmula explicita para a solução de uma equação diferencial, aproximações gráficas e numéricas muitas vezes fornecem a informação necessária. Objetivamos encontrar soluções analíticas exatas quando possível, e comparar os erros dos métodos numéricos.
       
    Agora, que acreditamos ter conscientizado o visitante da importância da Matemática no mundo atual, vamos falar um pouco sobre os profissionais que atuam nesta área.

    Muitas vezes é desconhecido do cidadão comum que a Matemática é uma Ciência viva e que um intenso trabalho de pesquisa é desenvolvido hoje em dia nesta área.
    "Nos últimos 30 anos a quantidade de páginas escritas de trabalhos publicados em Matemática
    é maior do que o número de páginas escritas sobre Matemática desde a Grécia antiga até a 30 anos atrás".
    A. Odlyzko, do AT & T Bell Laboratories

    O Brasil foi recentemente promovido ao Grupo IV da International Mathematical Union (IMU). Atualmente 66 países são associados à IMU, e esta promoção coloca o Brasil em posição de igualdade, no que diz respeito à qualidade da pesquisa em Matemática com a Índia, Holanda, Suiça e Suécia, ficando abaixo somente dos países do Grupo V; quais sejam Canadá, China, França, Alemanha, Israel, Itália, Japão, Rússia, Inglaterra e Estados Unidos.

    Apesar disto, muitas razões concorrem para o desconhecimento da pesquisa em Matemática.

    A primeira delas é que por sua própria natureza, um resultado matemático usa outros resultados anteriores e assim por diante de tal modo que é difícil descrever para um leigo a importância dos resultados obtidos pelos matemáticos atuais. Sendo assim, o cidadão comum não tem em geral conhecimento da pesquisa em Matemática atual. Convém também lembrar que a Matemática que se aprende hoje no ensino médio e no ensino superior, que se aplica numa enorme quantidade de situações práticas, foi considerada pesquisa Matemática algum tempo atrás.

    A segunda razão, talvez seja o fato de que não existe um Prêmio Nobel em Matemática. A. Nobel (1833-1896) foi um cientista sueco que criou uma fundação que anualmente premia cientistas de várias áreas do conhecimento como Física, Química, Medicina, Literatura, etc. Como não existe um Prêmio Nobel em Matemática, muitos pensam erradamente que não existe pesquisa atual nesta área. O prêmio correspondente ao Prêmio Nobel, na área da Matemática é a Medalha Fields que é outorgada pela International Mathematical Union a cada 4 anos a 4 matemáticos distinguidos que tenham menos de 40 anos de idade. Recentemente o matemático francês J.C. Yoccoz da Universidade de Paris-Sud recebeu este prêmio. Este  matemático passou grande parte de sua vida no Brasil trabalhando e desenvolvendo pesquisas matemáticas junto com pesquisadores brasileiros.

    Intenso trabalho de pesquisa se realiza hoje nas áreas centrais da Matemática.

    Os Fractais, os Sistemas Caóticos, Cellular Automata, a Teoria das Catástrofes, a Geometria das Variedades Mínimas, as Aplicações da Topologia Algébrica a problemas de Mecânica Quântica, a Teoria das wavelets, as Aplicações Matemáticas à  Teoria da Computação são alguns dos tópicos que mais se popularizaram.

    Outros temas igualmente importantes e profundos estão sendo desenvolvidos por matemáticos, embora seja difícil de explicar sua importância para leigos.

    Nada impede que estes tópicos passem de uma hora para outra a serem mencionados em periódicos de maior divulgação no momento em que alguém encontre um modelo real em que tais teorias possam ser aplicadas.

    Recentemente um matemático inglês resolveu a celebrada conjectura de Fermat.

    A conjectura de Riemmann acerca dos zeros de uma certa função é a questão ainda não resolvida mais famosa da Matemática atual. Uma série de outras questões importantes em Geometria, Análise, Álgebra e em Mecânica Quântica seriam matematicamente resolvidas se tal conjectura fosse verdadeira.

    Ricardo Mañé (1948-1995), um matemático trabalhando no IMPA (Rio de Janeiro), resolveu em 1987 a conjectura da estabilidade estrutural que é considerada um dos resultados mais importantes da Teoria dos Sistemas Caóticos.

    Celso Costa em sua tese de doutorado no IMPA (Rio de Janeiro), exibiu em 1982 um exemplo de uma superfície mínima com certas propriedades especiais. Este exemplo responde negativamente a uma conjectura também famosa. Esta superfície, que é conhecida no mundo inteiro como a superfície de Costa, foi inspirada, segundo o autor, por um chapéu de um passista de uma escola de samba do Rio de Janeiro.

    O universo dos problemas matemáticos os quais não temos a menor idéia de como resolvê-los é inesgotável. Ao mesmo tempo, a toda hora, as Ciências Naturais, colaborando com a Matemática, sugerem uma série de novos problemas matemáticos cuja solução é relevante e ainda desconhecida.

    O matemático desenvolve a Teoria Matemática através da sua intuição do que é fundamental e profundo em Matemática. A Matemática é fundamentalmente "resolução de problemas matemáticos".

    O eminete botânico Sir D'Arcy Thompson disse uma vez que tudo o que é belo em Matemática, mais cedo ou mais tarde será de importância em algum fenômeno natural.

    Quando um matemático encontra a solução para algum problema matemático e este resultado lhe parece interessante, ele quer que seus colegas o apreciem. O fruto deste trabalho é então publicado em uma revista de Matemática de circulação internacional, os chamados papers. Posteriormente, alguns destes resultados (em geral que têm maior profundidade do ponto de vista matemático) passam a ser utilizados por cientistas de outras áreas mais aplicadas.
     
    A Matemática, num certo sentido, é uma arte. A análise e a engenhosidade na obtenção da solução de um problema matemático possui um valor estético intrínseco. Uma série de resultados se encaixam "magicamente" num resultado final que, ou surpreende, ou encanta, ou nos coloca uma pulga atrás da orelha: será que isto é mesmo verdade?

    A demonstração matemática é enfim o que vai precisar se o resultado está certo ou  errado. A demonstração em Matemática desempenha o papel que a experiência desempenha na Física. É ela o referencial da veracidade ou não do resultado matemático.

    Cumpre destacar que para um profissional que vai apenas utilizar uma técnica matemática, nem sempre a apresentação de uma demonstração matemática pode ser elucidativa. Acima estamos falando da Matemática em si e não na sua aplicação em um ramo específico do conhecimento. Muitas vezes, quando se precisa utilizar uma certa técnica, a situação real não é bem igual ao que se aprendeu na universidade. É necessário fazer pequenos ajustes no modelo que foi ensinado. Neste momento, entender o resultado matemático (e algumas vezes até a sua demonstração) pode ser de grande utilidade.

    Exatamente devido a sua prova matemática, um resultado matemático é eterno. É válido hoje como também o será daqui a milhares de anos; ou seja, assumidas certas hipóteses, segue da prova matemática que tais e tais propriedades são válidas.

    O último quarto do século XX foi de realizações sem precedentes para a Álgebra. Todos ouviram falar da demonstração do Último Teorema de Fermat. Embora não tão comentada, não menos importante foi a obtenção da classificação dos grupos finitos simples. Contudo, o que poucos sabem, é que a própria existência da World Wide Web só é possível devido a códigos corretores de erros eficientes e a métodos de criptografia simples e confiáveis, todos baseados em sistemas algébricos. Outras implicações da Álgebra seriam: mídia digital (CD, DVD, etc.), telefonia celular, teoria de informação (transmissão e correção de dados digitais), etc.

    A quantidade de questões que não sabemos responder é monstruosamente maior do que o número de resultados estabelecidos.

    Esta disciplina objetiva explorar alguns poucos tópicos que deveriam ser trabalhados nos cursos de graduação.

    Convidamos você para embarcar juntos nesta viagem!
     


       
       
      
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    Não existe um estilo único de aprendizado. Em qualquer classe haverá sempre alunos que trabalham bem individualmnete e outros que trabalham melhor em grupos, alguns preferem o aprendizado com base em leituras e outros que prosperam em um ambiente de oficina didática, alguns que apreciam manipulações técnicas, outros adeptos de métodos numéricos (com ou sem um computador) e alguns que exibem forte intuição. Um bom curso usa uma variedade de maneiras de apresentar o material, para que todos os tipos de estudantes possam encontrar um caminho a seguir. Em consonância com essas idéias, procuraremos apresentar os tópicos expositivamente, tecnicamente, visualmente e verbalmente. Nosso objetivo primeiro é o de oportunizar o sucesso acadêmico dos estudantes num curso de qualidade.
    Através do livro-texto, da bibliografia indicada abaixo, e de artigos e apostilas elaboradas pelo Professor, além dos materiais disponíveis nesta página, abordaremos os conteúdos de aula.
    Algumas aulas serão expositivas, quando o Professor desenvolverá a teoria; em outras serão utilizadas aulas de exercícios, ora individuais, ora em grupos. Oportunamente, utilizaremos o laboratórios de informática para a resolução dos problemas relacionados através de softwares específicos.
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      EMENTA  
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    • Tópicos de derivadas, integrais, números complexos, equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais.

    • Métodos numéricos: zeros reais de funções reais, ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados, interpolação, resolução de sistemas lineares, soluções numéricas de equações diferenciais ordinárias – problemas de valor inicial e de contorno.
     
    		 
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      OBJETIVOS  
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    Nesta disciplina temos a intenção de mostrar o poder dos métodos desenvolvidos, usando aplicações mais realistas e complexas.
    Campos de inclinações podem ser usados para visualizar o comportamento das equações diferenciais de primeira ordem. A ênfase está nas soluções qualitativas, na modelagem e na interpretação. POdem ser incluídas aplicações a modelos populacionais (exponencial e logístico), ao alastramento de doenças, a equações do tipo presa-predador e à exclusão competitiva. Exemplos estes que enriquecem a visão dos estudantes acerca da aplicabilidade das equações diferenciais aos mais variados ramos das Ciências.
    Na abordagem das equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes: a equação da mola, tanto o caso com amortecimento quanto o sem amortecimento, e soluções usando números complexos, o estudante poderá sair sabendo o que é uma equação diferencial, como aproximar sua solução gráfica e numericamente, e como determinar algumas soluções analíticas, tudo no contexto de aplicações substanciais.
    Usualmente a derivada tem sido introduzida como a taxa de variação de uma função na disciplina de Cálculo 1. Lá se vê como usar a integral definida para calcular variações na função original a partir da derivada. Mais tarde, introduzimos as antiderivadas e o processo de "voltar para trás'' (por mais redundante que seja) partindo da derivada para a função original.
    Em boa parte deste curso, começaremos com uma equação que envolve a derivada de uma função desconhecida, e "voltaremos para trás'' para obter a função original. A esse tipo de equação dá-se o nome equação diferencial.
    Embora possa ter passado despercebido, o estudante atento pode observar que já vem resolvendo equações diferenciais há algum tempo. Toda vez que precisamos aplicar uma antiderivada para obter a  primitiva de f(x), estamos na verdade resolvendo a equação diferencial dy/dx=f(x). O aspecto novo é que o lado direito da equação diferencial pode agora ser uma função de y, ou de ambos x e y, em vez de apenas x.
    Objetivamos, ainda:
    • Instrumentalizar o aluno para aplicação, em situações práticas, dos conceitos matemáticos;
    • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem às equações diferenciais e aos métodos numéricos;
    • Familiarizar-se com a escrita matemática e a linguagem computacional;
    • Ter noções básicas sobre equações diferenciais ordinárias e parciais, e sobre os vários métodos necessários para a resolução tanto de modo teórico como computacional, conseguindo manipulá-las, mostrando destreza na apresentação e interpretação de dados;
    • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica;
    • Consolidar o processo de auto-formação, buscando autonomia e o princípio investigativo, entrando em contato com pesquisas recentes na área de matemática aplicada;
    • Manipular e interpretar planilhas eletrônicas e sofwares profissionais.
    Com isto, espera-se que o aluno seja capaz de:
    • Aplicar os conceitos básicos aqui desenvolvidos como uma ferramenta para pesquisas e aplicações precisas em sua área de atuação;
    • Através destas ferramentas, abordar problemas aplicados e enfrentar ou propor com naturalidade novas tecnologias.
    O programa da disciplina prevê o estudo de:
    • Métodos iterativos para se obter zeros reais de funções reais;
    • Métodos diretos e métodos iterativos para resolução de sistemas lineares;
    • Interpolação de dados: polinomial, linear, inversa, spline cúbica;
    • Ajuste de curvas pelo métodos dos mínimos quadrados;
    • Soluções numéricas de EDO.
    A metodologia de ensino envolverá a análise de textos e dados visando a construção de conhecimento significativo sobre temas a partir dos conhecimentos anteriores dos alunos.
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      BIBLIOGRAFIA BÁSICA  
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    • RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo, Makron Books, 2a. Edição, 1998.
    • BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C.; Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
    Recomendamos fortemente a seguinte bibliografia complementar:
    • ANTON, H.; Cálculo; um novo horizonte, volume 1. Porto Alegre, Bookman, 578 pp., 2000.
    • ATKINS, P.W.; Físico-Química. Rio de Janeiro, LTC, 1997.
    • BASSANEZI, R.C.; Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo, Contexto, 2002, ISBN 85-7244-207-3.
    • BASSANEZI, R.C.; FERREIRA JR., W.C.; Equações diferenciais com aplicações. São Paulo: Harbra, [s.d.].
    • BLOCH, S.C.; Excel para Engenheiros e Cientistas. RJ, LTC, 2004, ISBN 85-216-1395-4.
    • BOBADILLA, L.O.; GONZÁLES, E.R.; La historia de un empujón: un vistazo a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a los sistemas dinámicos. México, Universidad Nacional Autónoma de México, Temas de Matemática para Bachillerato 2, 2003, ISBN 968-36-9890-5.
    • BRONSON, R.; Moderna introdução às equações diferenciais. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977.
    • CLAUDIO, D.M.; MARINS, J.M.; Cálculo Numérico Computacional, São Paulo: Atlas, 1994.
    • CUNHA, M.C.C.; Métodos Numéricos. Campinas, UNICAMP, 2003. ISBN 85-268-0636-X.
    • FERREIRA, R.S.; Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Viçosa, Editora UFV, 1999, ISBN 85-7269-038-7.
    • HAETINGER, C.; DULLIUS, M.M.; QUARTIERI, M.T.;  Grupo de estudos no uso de aplicativos matemáticos computacionais de baixo custo no ensino de graduação.Cd-rom, FUVATES, 2004, ISBN 85-98611-11-5.
    • HANSELMAN, D.; LITTLEFIELD, B.; Matlab 6: curso completo.Prentice Hall, 2003, ISBN 85-87918-56-7.
    • HOFFMANN, L.D.; Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
    • LARSON, R. E.; EDWARDS, B. H.; HOSTETLER, R. P.; FARIAS, A. Alves de - trad.; Cálculo com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, c1998.
    • Manual de Fórmulas Técnicas. GIECK, Hemus, 2001, ISBN 8528904172.
    • NETO, F.D.M.; PEREIRA,F.R.; Modelagem na Indústria: Uma Viagem das Ciências Básicas à Engenharia. Belo Horizonte-MG, UFMG, I Bienal da SBM, 2002, pp. 1-156. [2,90Mb]
    • OGATA, K.; Engenharia de controle moderno. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
    • OLIVEIRA, E.C. de; MAIORINO, J.E.; Introdução aos Métodos da Matemática Aplicada. Campinas, UNICAMP, 2003. ISBN 85-268-0638-6.
    • OLIVEIRA, E.C. de; TYGEL, M.; Métodos Matemáticos para a Engenharia. São Carlos, Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional, Textos de Matemática Aplicada e Computacional, volume 1, 2001, ISBN 85-86883-03-4.
    • PAZOS, F.; Automação de sistemas e robótica. Rio de Janeiro: Axcel, 2002.
    • STEWART, J.; Cálculo, volume II, 4a. edição. São Paulo, Pioneira (Thomson Learning), 2002, ISBN 85-221-0236-8.
    • ZILL, D.; Equações diferenciais com aplicações em modelagem. Thomson (ABDR), 2003.
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      MATERIAIS DISPONÍVEIS  
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    Estamos disponibilizando diversos materiais complementares a esta disciplina. Alguns deles apresentam um grau de aprofundamento maior, ficando a cargo do aluno interessado sua leitura. Ao longo do curso, indicaremos nas respectivas aulas, conforme cronograma abaixo, quais são as leituras mais prementes. A divisão em Leitura Obrigatória/Complementar distingue entre o material a ser diretamente usado em aula (apostila, por assim dizer), e o material de apoio. O item Leitura Investigativa Eletiva corresponde a aplicações diversas relacionadas aos temas em questão, e que deverão ser estudados por conta própria pelo aluno. Sempre que possível, estaremos disponibilizando os materiais em versão eletrônica, inclusive através do ambiente UNIVATES Virtual; nos casos em que isto não seja possível, os  mesmos estarão à disposição com o pessoal da Secretaria de Pós-Graduação da UNIVATES. Eventuais softwares indicados estão mais detalhados na página download. Desde já, pedimos a colaboração de vocês para aumentarem esta listagem de assuntos.
    SISTEMÁTICA DE AVALIAÇÃO PARA CLASSIFICAÇÃO
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    A disciplina será ministrada por mim e pela Profa. Maria Madalena, cada qual com 50% das aulas e com 50% do peso da avaliação para emissão de conceito, de forma independente. A seguir descreveremos a sistemática a ser seguida em minhas aulas.
    Utilizaremos a seguinte sistemática de avaliação para a classificação: a cada aula os alunos serão convidados a fazerem uma avaliação do andamento da disciplina, disponibilizando seus comentários no diário de bordo do ambiente UNIVATES Virtual. Esta avaliação deverá conter, preferencialmente, uma análise da forma de atuar na disciplina, tanto do próprio aluno, como dos seus pares e do professor, apontando pontos a serem melhorados, com respectivas sugestões de melhoria.
    • A classificação será dada através da realização de duas tarefas avaliativas (TA1 e TA2, por brevidade), correspondentes aos dois bolcos de três aulas ministradas. A cada atividade será atribuída uma nota parcial de zero a 10, denotada por NP1 e NP2.
    • A turma será dividida em 5 grupos, denotados por G1, G2, G3, G4 e G5,  conforme afinidade.
    • Cada grupo terá uma lista de exercícios e atividades definida pelo professor, por TA, sobre o qual deverá elaborar um material escrito em resposta. Este material deverá conter os respectivos enunciados das questões propostas.
    • Cada grupo é responsável por deliberar sobre a forma de participação dos seus integrantes, bem como sobre a aceitação ou não de incluir o nome de integrantes que eventualmente não tenham colaborado a contento.
    • A TA1 deverá ser entregue até o início da Aula 10, e a TA2 deverá ser entregue em até 15 dias após a Aula 12.
    • Toda entrega de material avaliativo deverá ser feito junto à Secretaria de Pós-Graduação, mediante assinatura de entrega e recebimento.
    • A nota parcial (NPC) do conjunto de 6 aulas por mim ministradas será composta pela média aritmética simples das notas NP1 e NP2, ou seja, NPC=(NP1+NP2)/2.
    • A nota final (NF) da disciplina será composta pela média aritmética simples das notas parciais do Prof. Claus (NFC) e da Profa. Maria Madalena (NFMM). Explicitamente, NF=(NPC+NPMM)/2.
    • Caso a NF seja maior ou igual a 5,0, o aluno receberá o confeito final (CF) APROVADO; caso contrário, será considerado REPROVADO.

    AULA 1 - 09/05 - sexta-feira - lab. inf. 207-1: ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS
    • TÓPICOS ABORDADOS: a pesquisa na Matemática contemporânea: motivação, ramos e divisões da Matemática, a Matemática no mundo atual, a pesquisa em Matemática, o pensamento matemático, a Matemática no Brasil, os grandes problemas em aberto. Esquema para resolução de problemas através de métodos numéricos; introdução ao estudo de zeros reais de funções reais; isolamento de raízes; Teorema de Bolzano-Weierstrass; estudo das variações de sinal; solução gráfica; refinamento através de métodos iterativos; critérios de parada; método da bisseção; método da posição falsa; método do ponto fixo; método de Newton-Raphson; método da secante; comparação entre os métodos.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: HAETINGER, C.; Navegando pela Matemática contemporânea: uma abordagem superficial e incompleta da pesquisa em Matemática. Lajeado-RS, UNIVATES, (2001), pp. 1-61. [217Kb]
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 2: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Zeros reais de funções reais. Em Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo, Makron Books, 2a. Edição, 1998, Capítulo 2, pp. 27-82.
    • SOFTWARES: Graphmatica, Winplot, Planilha
    • LEITURA COMPLEMENTAR 1: GRAVINA, M.A.; O quanto precisamos de tabelas na construção de gráficos de funções?. Sociedade Brasileira de Matemática, Revista do Professor de Matemática 17, (1990), pp. 27-34.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 2: FERREIRA, R.S.; Função. Em Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Editora UFV, (1999), Capítulo 1, pp. 27-101
    • LEITURA COMPLEMENTAR 3: JESUS, A.R. de; SANTOS, M.M.G.; Visualizando funções com o Winplot. Belo Horizonte-MG, UFMG, I Bienal da SBM, 2002.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 4: ALMEIDA, F.J. de; Implementação de Disciplina de Métodos Computacionais no Curso de Engenharia Mecânica, pp. 1-5, (2004). [501Kb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 5: FILHO, G.P.C.; RIBEIRO, J.W.; GONÇALVES, D.H.; Programação Simbólica e Teoria de Ausubel no Aprendizado de Métodos Numéricos, pp. 1-5, (2004). [306Kb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 6: SILVA, R.E.; SILVA, D.D e.; SANTOS, G.B. dos; Matemática na Computação - Uma Crítica à Visão dos Alunos, pp. 1-4, (2004). [502Kb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 7: ANDRADE, D.; O Método de Newton. Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência. Universidade Estadual de Maringá , worksheet (requer MAPLE). [33,2Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 8: ANDRADE, D.; O Método de Newton-Raphson. Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência. Universidade Estadual de Maringá , worksheet (requer MAPLE). [130Kb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 9: SATUF, F.; O método da bisseção. Revista Matemática Universitária, volume 36, SBM, (2004), pp. 39-50.
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 1: ex 1a, ex 5, ex 11a, ex15a
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 2: ex 1b, ex 11b, ex 15b, ex 19
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 3: ex 1c, ex 11c, ex 16a, ex 19
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 4: ex 1d, ex 12, ex 16b, ex 23
    • TAREFA AVALIATIVA 1,  GRUPO 5:  ex 1e, ex 5, ex 19, ex 23

    AULA 2 - 10/05 - sábado - lab.inf. 207-1: ESTUDO ESPECIAL DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS
    • TÓPICOS ABORDADOS: introdução ao estudo especial de equações polinomiais; localização de raízes; Teorema Fundamental da Álgebra; Regra dos Sinais de Descartes; Teorema das Seqüências de Sturm; determinação das raízes reais; Método dos Parênteses Encaixantes para calcular o valor numérico de uma  função polinomial; Método de Newton para zeros de polinômios.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Estudo especial de equações polinomiais. Em Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo, Makron Books, 2a. Edição, 1998, Capítulo 2, pp. 82-104.
    • SOFTWARES: Graphamtica, Winplot, Planilha
    AULA 3 - 16/05 - sexta-feira - sala 327-1: INTERPOLAÇÃO
    • TÓPICOS ABORDADOS: introdução à interpolação; conceito; interpolação polinomial; formas de obtenção do polinômio interpolador - resolução de sistemas lineares X formas de Lagrange; interpolação linear; estudo do erro na interpolação; interpolação inversa; escolha do grau do polinômio interpolador; funções spline em interpolação; spline linear interpolante; spline cúbica interpolante; alguns comentários sobre interpolação.
    • PALESTRA (18:30hs):  MICHAEL MARQUES - Splines: conceito e utilização.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Interpolação. Em Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, segunda edição, Makron Books, (1998), Capítulo 5, pp. 211-261.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 1: ANTON, H.; RORRES, C.; Interpolação spline cúbica. Em Álgebra Linear com Aplicações, oitava edição, Bookman, (2001), Capítulo 11, pp. 384-390.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 2: MARTINEZ, C. de S.; Interpolação. Não publicado.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 3: BÖCKEL, E.A.; Interpolação de dados: interpolação polinomial. Não publicado.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 4: FILHO, A. das N.C.; Krigagem. Não publicado.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 5: HANSELMAN, D.; LITTLEFIELD, B.; Interpolação de dados usando Matlab. Em  Matlab 6: curso completo. Prentice Hall, (2003), ISBN 85-87918-56-7.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 6: BOOR, C. DE; Spline Toolbox for use with Matlab, User's Guide, version 3, pp. 1-216. [3,69Mb.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 7: BIEMBENGUT, M.S.; HEIN, N.; Abelhas, cubagem da madeira, criação de perus, considerações finais. Em Modelagem Matemática no Ensino, Editora Contexto, (2000), pp. 96-108, 109-116, 117-124.
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 1: ex 1a
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 2: ex 3
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 3: ex 7 primeira parte
    • TAREFA AVALIATIVA 1, GRUPO 4: ex 10 primeira parte
    • TAREFA AVALIATIVA 1,  GRUPO 5:  ex 12


    AULA 10 - 07/06 - sábado - lab. inf. 103-7: AJUSTE DE CURVAS
    • TÓPICOS ABORDADOS: introdução ao ajuste de curvas, caso discreto, exemplos, método dos mínimos quadrados, caso discreto, exemplos, caso não-linear, exemplos, teste de alinhamento, estudo do software LabFit, exemplos de aplicações de ajuste de curvas, regressão linear, regressão multilinear.
    • SOFTWARE: LabFit
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Ajuste de curvas pelo método dos quadrados mínimos. Em Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, segunda edição, Makron Books, (1998), Capítulo 6, pp. 268-291.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 2: ANDRIOTTI, J.L.S.; Correlação e regressão lineares. Em Fundamentos de Estatística e Geoestatística, Editora UNISINOS, (2003). Capítulo 3, pp. 68-80.
    • LEITURA  OBRIGATÓRIA 3: FERREIRA, R.S.; Método dos mínimos quadrados. Em Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Editora UFV, (1999), Capítulo 4, pp. 260-273.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 4: ANTON, H.; RORRES, C.; Ajuste de mínimos quadrados a dados. Em Álgebra Linear com aplicações. Bookman, 2001, pp. 302-308.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 1: STULP. S.; HAETINGER, C.; ET ALL; Amaranth food dye photochemical and photoelectrochemical degradation. (Submetido). [191 Kb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 2: MARMITT, S.; SILVA, C.P.; HAETINGER, C.; STÜLP, S.; Avaliação da degradação do corante vermelho bordeaux através de processo fotoquímico, Revista Engenharia Sanitária e Ambiental 13(1) (2008), pp. 73-77. [964Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 3: HAETINGER, C.; ET ALL: O impacto sócio-ambiental das enchentes nas áreas urbanas dos municípios localizados às margens do Rio Taquari - modelagem matemática das cotas máximas de cheias. Parte integrante do relatório da pesquisa de mesmo nome, liderada por  E. FERREIRA, Edital PROCOREDES.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 4: SILVA, W.P. DA;  ET ALL: LAB Fit ajuste de curvas: um software em português para tratamento de dados experimentais. Revista Brasileira de Ensino de Física 26 (3), (2004), pp.  419-427. [720Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 5: HANSELMAN, D.; LITTLEFIELD, B.; Polinômios e ajuste de curvas usando Matlab. Em  Matlab 6: curso completo.Prentice Hall, (2003), ISBN 85-87918-56-7.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 6: NETO, F.D.M.; PEREIRA,F.R.; Determinação dos parâmetros do motor. Em  Modelagem na indústria: uma viagem das Ciências básicas à Engenharia, capítulo 3. Belo Horizonte-MG, UFMG, I Bienal da SBM, (2002), pp. 43-64. [2,90Mb].
    • LEITURA COMPLEMENTAR 7: BLOCH, S.C.; Ajuste exponencial. Em Excel para Engenheiros e Cientistas. Capítulo 5, Rio de Janeiro, LTC, 2004, pp. 62-65. ISBN 85-216-1395-4.
    • LEITURA COMPLEMENTAR 8: REMPEL, C.; Bioestatística 3 - correlação. Notas de Aula (não publicado). [127Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 9: REMPEL, C.; Correlação. Notas de Aula (não publicado). [50,6Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 10: REMPEL, C.; Exercícios de correlação. Notas de Aula (não publicado). [54Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 11: BASSANEZI, R.C.; Regressão ou ajuste de curvas. Em Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo, Contexto, (2002),  Capítulo 2, pp. 54-69.
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 1: ex 1, ex 2, ex 4
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 2: ex 1, ex 3, ex 4
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 3: ex 1, ex 5, ex 4
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 4: ex 1, ex 6, ex 4
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 5: ex 1, ex 7, ex 4
    AULA 11 - sexta-feira - 13/06 - lab. inf. 101-11: SISTEMAS LINEARES
    • TÓPICOS ABORDADOS: formulação de sistemas lineares, soluções de sistemas lineares, resolução por eliminação gaussiana, modelo de interação populacional presa-predador, utilização do computador para resolução de sistemas lineares
    • SOFTWARES: Projeto Gauss, Matlab
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: FERREIRA, R.S.; Sistemas de equações lineares. Em Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Editora UFV, (1999), Capítulo 5, pp. 289-303.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 2: HAETINGER, C.; DULLIUS, M.M.; Álgebra Linear e Geometria Analítica. Univates, Notas de Aula, não publicado. [0,98Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 1: RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L. da R.; Resolução de sistemas lineares. Em Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, segunda edição, Makron Books, (1998), Capítulo 3, pp. 105-191.
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 1: 2
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 2: 3
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 3: 4
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 4: 5
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 5: 6
    AULA 12 - sábado - 14/06 - lab.inf. 101-11: PROGRAMAÇÃO LINEAR

    • TÓPICOS ABORDADOS: introdução à Programação Linear, método simplex - abordagem geométrica, exemplos, uso de aplicativos computacionais para resolução de problemas de Programação Linear
    • SOFTWARES: Winmatrix, Lindo
    • PALESTRA (10hs): MÁRCIA REHFELDT - Aplicações de programação linear e o uso do software LINDO [143Kb]. Respostas [41,5Kb]
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 1: FERREIRA, R.S.; Programação linear. Em Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Editora UFV, (1999), Capítulo 5, pp. 303-313.
    • LEITURA OBRIGATÓRIA 2: HAETINGER, C.; DULLIUS, M.M.; Álgebra Linear e Geometria Analítica. Univates, Notas de Aula, não publicado. [0,98Kb]
    • LEITURA COMPLEMENTAR 1: PERIN, C.; Introdução à Programação Linear. IMEEC, Unicamp, Campinas, 2001,  177p.
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 1: 2
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 2: 3
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 3: 5
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 4: 1a
    • TAREFA AVALIATIVA 2, GRUPO 5:  1f


      
    OUTROS MATERIAIS

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      DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS POR AULA  
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    Além dos temas indicados, cada aluno é responsável por buscar aplicações dos conteúdos trabalhados em aula referentes ao seu respectivo curso de origem ou área de atuação profissional.
      Programação adicional:
    • 16/05 - às 18:30hs: PALESTRA: MICHAEL MARQUES - Splines: conceito e uso
    • 14/06 - às 10:00: PALESTRA: MÁRCIA REHFELDT - Aplicações de programação linear e o uso do software LINDO

    TURMA 1 DE 2007 E TURMA 2 DE 2008- SALA 327-1
    AULA TEMA OBJETIVOS RECURSOS ATIVIDADES LEITURA INDICADA
    Aula 1
    09/05
    207-1
    OK
    • Apresentação
    • Tópicos sobre Matemática Contemporânea
    • Zeros de Funções
    • Apresentar alguns questionamentos referentes à Matemática contemporânea
    • Entender a importância dos métodos numéricos
    • Possibilitar a inserção de métodos numéricos no ensino
    • Estudar zeros de funções reais
    • Conhecer alguns métodos para obtenção de zeros de funções reais e estudar seus respectivos custos computacionais
    • Datashow
    • Lab. Inf. 207-1 com Graphmatica, Winplot e Planilha
    • Notebook
    • Polígrafo
    • Apresentação da página web da disciplina
    • Definição do contrato didático e apresentação do plano de trabalho
    • Orientações sobre a Tarefa Avaliativa
    • Palestra sobre Matemática contemporânea
    • Esquema para resolução de problemas através de métodos numéricos
    • Introdução ao estudo de zeros reais de funções reais
    • Isolamento de raízes
    • Teorema de Bolzano-Weierstrass
    • Estudo das variações de sinal
    • Solução gráfica
    • Refinamento através de métodos iterativos
    • Critérios de parada
    • Método da bisseção
    • Método da posição falsa
    • Método do ponto fixo
    • Método de Newton-Raphson
    • Método da secante
    • Comparação entre os métodos
    • LO 1
    • LO 2
    • LC 1
    • LC 2
    • LC 3
    • LC 4
    • LC 5
    • LC 6
    • LC7
    • LC 8
    • LC 9
    • TA 1
    Aula 2
    10/05
    207-1
    OK
    • Estudo Especial de Equações Polinomiais
    • Particularizar os estudos da aula anterior para funções polinomiais
    • Lab. Inf. 207-1 com Graphmatica e Winplot
    • Datashow
    • Notebook
    • Polígrafo
    • Introdução ao estudo especial de equações polinomiais
    • Localização de raízes
    • Teorema Fundamental da Álgebra
    • Regra dos Sinais de Descartes
    • Teorema das Seqüências de Sturm
    • Determinação das raízes reais
    • Método dos Parênteses Encaixantes para calcular o valor numérico de uma  função polinomial
    • Método de Newton para zeros de polinômios
    • LO 1
    Aula 3
    16/05
    327-1
    OK
    • Interpolação
    • Estudar alguns métodos de interpolação de dados
    • Palestra com Michael Marques
    • Datashow
    • Notebook
    • Polígrafo
    • Palestra com Michael Marques
    • Desenvolver os cálculos de interpolação
    • Visualizar a interpolação através do computador
    • Introdução à interpolação
    • Conceito
    • Interpolação polinomial
    • Formas de obtenção do polinômio interpolador - resolução de sistemas lineares X formas de Lagrange
    • Interpolação linear
    • Estudo do erro na interpolação
    • Interpolação inversa
    • Escolha do grau do polinômio interpolador
    • Funções spline em interpolação
    • Spline linear interpolante
    • Spline cúbica interpolante
    • Alguns comentários sobre interpolação.
    • LO 1
    • TA 1
    • LC 1
    • LC 2
    • LC 3
    • LC 4
    • LC 5
    • LC 6
    Aula 10
    07/06
    103-7
    OK
    • Ajuste de Curvas
    • Método dos mínimos quadrados
    • Regressão linear
    • Regressão multilinear
    • Lab. Inf. 103-7 com LabFit
    • Notebook
    • Datashow
    • Polígrafo
    • Ajuste linear
    • Ajuste polinomial
    • Aplicação: série de Fourier
    • Exemplos: artigo Simone, artigo Vianei, planilha enchentes
    • LO 1
    • LO 2
    • LO 3
    • LO 4
    • LC 1
    • LC 2
    • LC 3
    • LC 4
    • LC 5
    • LC 6
    • LC 7
    • LC 8
    • LC 9
    • LC 10
    Aula 11
    13/06
    101-11
    OK
    • Sistemas Lineares
    • Estudo de métodos de resolução de sistemas lineares
    • Uso de aplicativos computacionais para resolução de sistemas lineares
    • Lab. Inf. 101-11 com Projeto Gauss e Matlab
    • Apostila
    • Método de resolução de sistemas lineares por eliminação gaussiana
    • Análise de soluções
    • Uso de recursos computacionais para resolução de sistemas lineares
    • LO 1
    • LO 2
    • LC 1
    Aula 12
    14/06
    101-11
    OK
    • Programação Linear
    • Programação Linear
    • Lab.Inf. 101-11 com Winmatrix e LINDO
    • Datashow
    • Apostila
    • Método simplex para resolução de problemas de PL
    • Palestra Márcia Rehfeldt 
    • Estudo de problemas de Programação Linear usando o computador
    • LO 1
    • LO 2
    • LC 1
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    Data da última atualização: 16/10/2009
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