Que (com preposição). Em certos casos, a preposição que acompanha o que (pronome ou conjunção) deve estar expressa na oração e em outros pode ser omitida (elipse). Veja como proceder em cada um deles:

1 - A preposição é obrigatória quando o que tem um antecedente - como se trata de pronome relativo, lembre-se: ele pode ser substituído sempre por o qual, a qual, os quais e as quais - e a regência do verbo, da palavra ou da expressão a exige: Como escrever algo com que (com o qual) não simpatizamos (quem simpatiza simpatiza com alguma coisa). / Foi o melhor espetáculo a que (ao qual) assistiram (assiste-se a um espetáculo). / Era uma pessoa de quem todos gostavam (quem gosta gosta de alguma coisa)? / Queria tudo a que (ao qual) tinha direito (ter direito a alguma coisa). / O jogador em quem (e não que) o Santos tinha interesse era X (ter interesse em) / Venceu a prova de que (da qual) participou (participa-se de). / Não sabia com que (com a qual) espécie de gente estava lidando (lida-se com). / O processo a que (ao qual) respondia prescreveu (responde-se a um processo). / O convite de que abriu mão... / A bondade de que era capaz... / O livro de que lhe falei...

Atenção. São erradas frases como: Esse contrato, que ninguém revela as bases... / A empresa, que o ministro não quis revelar o nome... / O criminoso, que ninguém sabia dizer o nome... / A carta, que ele guardou a cópia... / O acusado, que você ignorava a profissão... Em todas elas falta um de: de que ninguém revela as bases, de que o ministro não quis revelar o nome, do qual ninguém sabia dizer o nome, de que ele guardou a cópia, de que você nem sabia a profissão. E todas, melhor, poderiam ser construídas com o relativo cujo: O contrato cujas bases ninguém revela... / A empresa cujo nome o ministro não quis revelar... / O criminoso cujo nome ninguém sabia dizer... / O acusado cuja profissão você ignorava... / A carta cuja cópia ele guardou...

2 - Mantenha a preposição quando o que introduz orações que completam o sentido de um substantivo, adjetivo ou advérbio (completivas nominais): Estamos certos (do quê?) de que não se haviam aborrecido. / Manifestou a certeza (do quê?) de que ninguém o contestaria. / Chegou à conclusão de que o caso estava perdido. / Não existe nenhuma possibilidade de que a lei seja reformulada. / Publicou a notícia de que o ministro... / Não há dúvida de que cabe ao Congresso... / Deu-se conta de que havia outras saídas. / Era contrário a que todos comparecessem... / Era favorável a que o absolvessem.

Grande parte das frases como as citadas constrói-se com o verbo ter + substantivo: Tenho medo de que não cheguem a tempo. / Tinha a impressão de que, tinha a certeza de que, tinha esperanças de que, tinha confiança de que, a expectativa de que, o receio de que, o temor de que, a desconfiança de que, a necessidade de que, a consciência de que, etc.

3 - A preposição pode (a forma é mais eufônica) ser omitida quando o que introduz oração que tem a função de objeto indireto: Duvido que ele faça isso (embora também seja correto escrever duvido de que ele faça isso). / O governo concordou que (preferível eufonicamente a concordou em que) aquela era a melhor proposta. / O acusado desconfiava que queriam prejudicá-lo. / Precisamos que alguém nos ajude. / Os assaltantes suspeitavam que alguém os havia denunciado. / Todos insistiram que (preferível a insistiram em que) estava na hora de mudar a política da empresa. / Militares confiavam que (preferível a confiavam em que) a anistia seria rejeitada. / Não se importava que ela fosse feia. / Suspeita-se que ninguém virá à festa.

Observação. Mesmo que haja inúmeros exemplos em contrário, prefira usar os verbos recordar-se, lembrar-se e esquecer-se com a preposição de: Lembrava-se vagamente de que perto da casa corria um riacho. / Recordou-se de que o haviam ofendido anos atrás. / Não se esqueça de que o torneio começa amanhã.