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Resposta Fevereiro/2002


Uma maneira bastante informal de solucionar o problema seria interpretá-lo: fazendo pequenas associações para então, por tentativas chegar-se ao resultado, assim:

Zé dividiu os peixes em três e devolveu um ao lago,
Z - Ju - Jo - 1

Juca dividiu os peixes em três e devolveu um ao lago,
Z - Ju - Jo - 1

João dividiu os peixes em três e devolveu um ao lago,
Z - Ju - Jo - 1

Analisando-se a situação a partir da última ocorrência (ação de João) e, por tentativas, exclui-se as soluções que não são viáveis ao resultado (o número de peixes precisa ser inteiro), assim:
João obrigatoriamente encontrou número de peixes par (duas pilhas de Juca) e não pode ter encontrado número de peixes inferior a 4 (Z - Ju - Jo - 1). Porém, aceitando-se a hipótese do achado ser exatamente 4, recai-se sobre Juca uma situação errônea: O total encontrado por Juca, igualmente a João, somente pode ser par e, desta forma, acaba-se encontrando como resposta o número de peixes igual a 7.
Assim, o próximo número par possível seria 10 (3Z - 3Ju - 3Jo - 1). Com isso conclui-se que as pilhas de Juca tinham 5 peixes cada (5Z - 5Jo - 5Ju - 1) e o mesmo deve ter encontrado 16 peixes.
Se João encontrou 16 peixes as pilhas de Zé só podem ser constituídas de 8 peixes cada (8Z - 8Jo - 8Ju - 1). Facilmente conclui-se que o mínimo de peixes pescados naquela tarde foram 8 + 8 + 8 + 1 = 25 peixes.

A resolução acima apresentada nada mais é que a interpretação do problema e a organização dos dados do mesmo, feito desta forma não são necessários muitos conhecimentos na área de Matemática e sim um bom raciocínio lógico.


Porém outras formulações de respostas comentadas foram enviadas, cito abaixo a resolução do amigo Paulo Bagatini, que apresentou-a de forma visivelmente matemática:

Zé pegou o total (T), dividiu em 3, ficou com uma parte (n_1) e sobrou 1,
T = 3n_1 + 1
Juca pegou o que ficou (2n_1), dividiu em 3, ficou com uma parte (n_2) e sobrou 1,
2n_1 = 3n_2 + 1
João pegou o que ficou (2n_2), dividiu em 3, ficou com uma parte (n_3) e sobrou 1,
2n_2 = 3n_3 + 1

Assim, temos:
| 3n_1 + 1 = T
< 3n_2 + 1 = 2n_1
| 3n_3 + 1 = 2n_2

Teoricamente, a mínima quantidade total pescada seria obtida se no final João tivesse ficado com 1 peixe. Mas talvez isso não dê um total final inteiro (condição básica, uma vez que não se pesca peixes pela metade :). Assim, para não ficar chutando valores e testando cada um, vamos resolver o sistema acima.

n_1 = (T-1)/3

3n_2 + 1 = 2(T-1)/3 = (2T-2)/3

3n_2 = (2T-2)/3 - 1 = (2T-5)/3

n_2 = (2T-5)/9

3n_3 + 1 = 2(2T-5)/9 = (4T-10)/9

3n_3 = (4T-10)/9 - 1 = (4T-19)/9

n_3 = (4T-19)/27

27.n_3 + 19

T = -----------
4

Vemos portanto, que não é para qualquer n_3 (a quantidade que João deixou para cada um) que temos um total inicial T inteiro.

n_3 deve ser tal que (27n_3+19) seja múltiplo de 4, e, portanto, T seja inteiro.

n_3 | T
----------- ----------
1 | 11,50
2 | 18,25
3 | 25
4 | 31,75
5 | 38,50
6 | 45,25
7 | 52
8 | 58,75
9 | 65,50
10 | 72,25
11 | 79

Analisando a tabela vemos portanto que para

n_3 = 3 + 4a (a um número Natural)

27.n_3 + 19
temos T = ----------- inteiro
4

e portanto, o mínimo valor de n_3 tal que T seja inteiro ocorre quando a=0.

Portanto, n_3 = 3 implica que no dia, foram pescados ao menos 25 peixes.



Agradeço as respostas enviadas e desafio você a resolver o
"Desafio Março/2002".
BOA SORTE!!!



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